线性规划模型

线性规划模型（Linear Programming, LP）

一、线性规划简介

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

二、案例：利润最大问题

某工厂拥有 a、b 两种原材料生产 A、B 两种产品，现有设备使用限量为 8 台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示：

原材料\产品	A	B	原材料总量
a（kg）	4	0	16
b（kg）	0	4	12
利润（万元）	2	3
设备（台）	1	2

试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？

这个问题的决策变量和约束条件很少，比较简单，显然是能够直接看出答案的：A 产品每台利润比 B 高，只要能生产 A 就生产 A 产品，因此由 A 原材料总量，可以知道 A 最多生产 4 个，此时使用了 4 台设备；剩余的 4 台设备生产 B 产品，那么最终结果就是生产 4 个 A产品和生产 2 个 B 产品。

下面使用线性规划来求解该问题。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：

根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；
由决策变量和所需达到目的之间的函数关系确定目标函数；
由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

由题目要求，根据上述三个步骤可以得到对应的结果：

$x_1, x_2$ 分别表示在计划期内产品A、B的产量；
$L=2x_1 + 3x_2$ 最大化；
根据有限设备和原材料，决策变量的约束条件为：

\begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 8 \\ 4x_1 \le 16 \\ 4x_2 \le 12 \\ x_1 \ge 0 \\ x_2 \ge 0 \end{cases}

线性规划问题可使用 scipy.optimize.linprog 函数来求解，详细参数可参考官方网站文档。该函数支持三种方法：

单纯形法（simplex）
内点法（interior-point）
修正单纯形法（revised simplex）

其中默认使用的求解算法是内点法，关于单纯形法与内点法的进一步介绍可参考这篇知乎笔记。

对于以上问题使用该函数求解时，需要将目标函数转化为求最小值，并且将约束条件用矩阵表示，以及分开表示等式与不等式约束和决策变量定义域。那么问题最终可以表示为：

\begin{split} \min_x\quad & c^Tx \\ \text{such that}\quad & A_{ub}x \le b_{ub} \;, \\ & A_{eq} = b_{eq} \;, \\ & l \le x \le u \;, \\ \text{which}\quad & c = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}, \; x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ & A_{ub} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \; b_{ub} = \begin{bmatrix} 8 \\ 16 \\ 12 \end{bmatrix} \\ & A_{eq} = None ,\; b_{eq} = None \\ & l = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \; u = \begin{bmatrix} None \\ None \end{bmatrix} \end{split}

对应的代码为：


xxxxxxxxxx
5
1
c = [-2, -3]
2
A_ub = [[1, 2], [4, 0], [0, 4]]
3
b_ub = [[8], [16], [12]]
4
bounds = [(0, None), (0, None)]
5
print(linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds))

最终的求解结果为 x=[4., 2.] ，即生产 4 个 A产品和生产 2 个 B 产品，与前述答案一致。