模拟退火（Simulated Annealing，SA）

一、模拟退火算法及相关概念简介：

百度百科解释：

背景简介：模拟退火算法来源于固体退火原理，是一种基于概率的算法，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

算法简介：模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）最早的思想是由N. Metropolis等人于1953年提出。1983 年，S. Kirkpatrick等成功地将退火思想引入到组合优化领域。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似性。模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降,结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。模拟退火算法是一种通用的优化算法，理论上算法具有概率的全局优化性能,目前已在工程中得到了广泛应用，诸如VLSI、生产调度、控制工程、机器学习、神经网络、信号处理等领域。

模拟退火算法是通过赋予搜索过程一种时变且最终趋于零的概率突跳性，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。

原理：模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为 e(-ΔE/(kT))，其中 E 为温度 T 时的内能，ΔE 为其改变量，k 为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E 模拟为目标函数值 f，温度 T 演化成控制参数 t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解 i 和控制参数初值 t 开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减 t 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值 t 及其衰减因子Δt、每个 t 值时的迭代次数 L 和停止条件 S。

物理中的退火现象：指物体逐渐降温时发生的物理现象。温度越低，物体的能量状态越低，到达足够的低点时，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。缓慢降温时，可达到最低能量状态；但如果快速降温，会导致不是最低能态的非晶形。

退火：指退火是指将固体加热到足够高的温度，使分子呈随机排列状态，然后逐步降温使之冷却，最后分子以低能状态排列，固体达到某种稳定状态。物理退火过程如下：

• 加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态；
• 等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态；
• 冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

模拟退火算法的思想就是模仿自然界退火现象，利用了物理中固体物质的退火过程与一般优化问题的相似性从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解。组合优化问题部分参数与退火过程状态对比如下：

二、模拟退火算法具体操作步骤：

1. 初始化：

   • 设定初温 $T_0$ ，初始温度要足够高，使的所有转移状态都被接受。初始温度越高，获得高质量的解的概率越大，耗费的时间越长。
   • 给定初始解 $x_0$ ，以及产生新解的方法。通常选择由当前解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，或者在当前解的领域中随机选取一个领域解。
   • 选择退火的方法。最简单易行的方法是指数式下降：$T_{k+1}=r \times T_k$ ，其中 $r \in (0.8, 0.99)$ ；其他的有：$T_{k+1}=T_k-\Delta t$ ，$\displaystyle T_{k+1}=\frac{T_0}{log(1+k)}$ ，$\displaystyle T_{k+1}=\frac{T_0}{1+t}$ 等方法。
   • 代价函数 $cost(x)$ 计算的方法。相当于计算当前解的能量，用来判断如何接受产生的新解。
   • 退火结束的判断条件。可以设定终止温度或迭代次数，低于该温度或超过该迭代次数时则退火完成；也可以选择其他判断条件：如 n 回合内最优解没有变化，或 n 回合内解的变化不明显等等。
   • 每个温度的恒温结束判断条件。通常取为连续若干个新解都没有被接受时为终止条件，或者为每个温度下设置迭代次数；根据实际求解的问题，也可以选择其他判断条件。

2. 在当前温度 $T$ 下执行以下步骤：

   1. 根据产生新解的方法，产生一个新解；
   2. 计算新解的代价函数，并求得与当前解的代价函数的差值：$\Delta cost = cost(x_{new})-cost(x)$；
   3. 若 $\Delta cost < 0$ 时，说明新解的能量低，故无条件接受新解：$x = x_{new}$ ，否则以 $\displaystyle exp(\frac{-\Delta cost}{T})$ 的概率接受新解；
   4. 根据当前温度的恒温结束判断条件，判断当前温度下的恒温过程是否结束，若未结束，则转到 2.1 步。

3. 使用退火方法进行退火，降低温度；并根据退火结束判断条件，判断退火是否结束，若未结束，则转到第 2 步。

根据以上算法的具体步骤，使用 python 将该算法实现为了一个类。将算法初始化中的各个初始条件传入该类实例化后，运行模拟退火的方法即可求解。参考代码如下：

xxxxxxxxxx
49
1
class SA():
2
    def __init__(self, temperature, solve, inner_maxiter, outer_maxiter, \
3
            annealing_func, newsolve_func, cost_func, \
4
            annealing_args=None, newsolve_args=None, cost_args=None, \
5
            inner_termination_func=lambda x: False, \
6
            outer_termination_func=lambda x: False):
7
​
8
        self.temperature = temperature
9
        self.solve = solve
10
        self.inner_maxiter = inner_maxiter
11
        self.outer_maxiter = outer_maxiter
12
​
13
        self.annealing = annealing_func
14
        self.newsolve = newsolve_func
15
        self.cost_func = cost_func
16
​
17
        self.annealing_args = annealing_args
18
        self.cost_args = cost_args
19
        self.newsolve_args = newsolve_args
20
​
21
        self.is_inner_termination = inner_termination_func
22
        self.is_outer_termination = outer_termination_func
23
​
24
        self.history = {"temperature": [], "solve": [], "cost": []}
25
​
26
    def simulated_annealing(self):
27
        self.cost = self.cost_func(self.solve, self.cost_args)
28
        self.history["temperature"].append(self.temperature)
29
        self.history["solve"].append(self.solve)
30
        self.history["cost"].append(self.cost)
31
​
32
        for outer in range(self.outer_maxiter):
33
            for inner in range(self.inner_maxiter):
34
                newsolve = self.newsolve(self.solve, self.newsolve_args)
35
                newcost = self.cost_func(newsolve, self.cost_args)
36
                prob = np.min([1, np.exp(-(newcost-self.cost)/self.temperature)])
37
                if np.random.random() < prob:
38
                    self.solve = newsolve
39
                    self.cost = newcost
40
​
41
                self.history["solve"].append(newsolve)
42
                self.history["cost"].append(newcost)
43
                if self.is_inner_termination(self.history):
44
                    break
45
            
46
            self.temperature = self.annealing(self.temperature, self.annealing_args)
47
            self.history["temperature"].append(self.temperature)
48
            if self.is_outer_termination(self.history):
49
                break

模拟退火算法的优点：

• 迭代搜索效率高，并且可以并行化；
• 算法中有一定概率接受比当前解较差的解，因此一定程度上可以跳出局部最优；
• 算法求得的解与初始解无关，因此有一定的鲁棒性；
• 具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法。

三、案例：TSP问题（Travelling Salesman Problem）

该问题为假设有一个旅行商人要拜访 n 个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。利用以上类来实现该问题的求解只需要两步：初始化和运行模拟退火，参考代码如下：

xxxxxxxxxx
8
1
sa = SA(1, np.arange(cities), 30, 50, \
2
        lambda x, args=None: x*0.95, get_newpath, \
3
        lambda x, args=None: np.sum(args[x[0:-1], x[1:]]) + args[x[-1], x[0]], \
4
        cost_args = distance, \
5
        inner_termination_func=termination, \
6
        outer_termination_func=termination)
7
sa.simulated_annealing()
8
print(sa.solve, sa.cost)

注：以上代码的部分初始化参数的定义没有给出，请参考目录 code 下的源代码 SA.py 。

参考资料：

• 百度百科：模拟退火算法
• 模拟退火算法学习笔记 - Major的文章 - 知乎
• 最优化算法之模拟退火算法（SA）
• 深度学习 --- 模拟退火算法详解（Simulated Annealing， SA）